La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu u...
Colloque - Géométries aléatoires et applications - Agnès Desolneux : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitale
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2023-2024Colloque - Géométries aléatoires et applications : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitaleIntervenante :Agnès DesolneuxCNRS, École normale supérieure Paris-SaclayRésuméIn this talk I will present several random image models that are else explicit (such as Gaussian models or Boolean models for instance), or more "implicit" (such as images generated by a neural network). I will discuss how these models are used to understand the detectability of some lesions in digital mammograms. I will also discuss another interest of such models, which is that they allow to perform virtual clinical trials.----Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Anne Estrade : Géométrie des excursions de champs aléatoires réguliers et inférence statistique
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2023-2024Colloque - Géométries aléatoires et applications : Géométrie des excursions de champs aléatoires réguliers et inférence statistiqueIntervenante :Anne EstradeUniversité Paris CitéRésuméSome geometrical and topological features of the excursions of smooth random fields will be presented, such as their expected Lipschitz-Killing curvatures. The concerned random fields will be Gaussian or Gaussian based, but also shot-noise fields will be considered. Based on these features, one can statistically infer some informations on the underlying random field, in particular statistical tests (of Gaussianity, or of isotropy) and parameters estimations. A special focus on the two-dimensional case will be payed as it is the natural framework for image analysis.----Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - François Baccelli : Sur les graphes aléatoires unimodulaires
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2023-2024Colloque - Géométries aléatoires et applications : Sur les graphes aléatoires unimodulairesIntervenant :François BaccelliInria & École normale supérieure ParisRésuméL'exposé introduira d'abord les graphes aléatoires unimodulaires et donnera plusieurs exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, des marches aléatoires et des ensembles aléatoires discrets auto-similaires. Plusieurs types de résultats sur ces graphes seront ensuite passés en revue :Des extensions unimodulaires de théorèmes classiques du calcul de Palm et de la théorie ergodique.Une classification des dynamiques déterministes ou aléatoires sur ces graphes basée sur les propriétés de leurs variétés stables.Deux nouvelles notions de dimension pour de tels graphes, à savoir leurs dimensions unimodulaires de Minkowski et de Hausdorff.Cet exposé est basé sur une série d'articles en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.----Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.
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Colloque - Géométries aléatoires et applications - Pierre Calka : Gros plan sur la géométrie aléatoire convexe
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2023-2024Colloque - Géométries aléatoires et applications : Gros plan sur la géométrie aléatoire convexeIntervenant : Pierre CalkaUniversité de Rouen NormandieRésuméL'exposé porte sur un certain type de géométrie aléatoire qui mélange géométrie convexe et intégrale avec la théorie des probabilités et plus particulièrement la notion de processus ponctuel. Celui-ci consiste en général à se donner un ensemble discret de points aléatoires dans l'espace euclidien puis d'effectuer une construction géométrique déterministe à partir de cet ensemble et d'étudier l'objet aléatoire obtenu. Nous nous concentrons en particulier sur le plus petit polytope convexe contenant le nuage aléatoire de points, c'est-à-dire son enveloppe convexe. Un tel modèle apparaît naturellement dans différents domaines comme la géométrie algorithmique, l'analyse d'images ou la statistique de données multivariées. Une fois donné le contexte historique, nous présentons quelques résultats asymptotiques récents en faisant un gros plan sur la frontière du polytope aléatoire. Ceux-ci incluent des lois limites, valeurs extrêmes ou des propriétés en grande dimension. Nous espérons en chemin donner un aperçu significatif des outils mathématiques requis, à la fois en probabilités et en géométrie, et tenter de faire le pont avec d'autres domaines comme les équations aux dérivées partielles.L'exposé est basé sur plusieurs travaux communs avec Joe Yukich, Gauthier Quilan et Benjamin Dadoun.----Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.
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09 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Trou spectral des surfaces aléatoire
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2024-202509 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Trou spectral des surfaces aléatoireIntervenant :Nalini AnantharamanProfesseur du Collège de France
À propos de Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman
La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu une première naissance dans les années 1910, quand les précurseurs de la mécanique quantique ont cherché à calculer le spectre des atomes à partir de considérations géométriques sur le modèle planétaire. La question s'est ensuite muée en l'étude du spectre d'opérateurs de Schrödinger, en lien avec la géométrie symplectique dans l'espace des phases de la mécanique classique.La seconde naissance du domaine remonte aux années 1960 avec le théorème de l'indice, qui donne des relations entre certains « indices topologiques » (par exemple la caractéristique d'Euler d'un espace topologique) et le bas du spectre d'un opérateur elliptique (comme l'opérateur de Laplace). Ce domaine connaît actuellement une activité intense du côté de la physique, avec la découverte du rôle de la notion d'« indice » dans la description des matériaux topologiques.Parmi les grandes questions de la géométrie spectrale, citons :Le chaos quantique : c'est l'étude du spectre d'un opérateur de Schrödinger, quand le système hamiltonien qui lui correspond en mécanique classique est chaotique ;Les problèmes inverses : que peut-on deviner de la géométrie d'un objet à partir de la mesure de son spectre de vibration ?Le lien entre spectre et topologie, via divers avatars du théorème de l'indice ;Le spectre de systèmes désordonnés ou d'objets géométriques aléatoires ;Le lien entre géométrie et contrôle des ondes : quels sont les meilleurs endroits où se placer pour « diriger » une onde ?Le cours sera tourné vers les aspects mathématiques de ces questions, mais certaines années le séminaire sera l'occasion d'entendre des physiciens présenter leurs travaux en lien avec le cours.
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